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By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk „Angewandte Mathematik mit Mathcad“, richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich der Potenzreihen, Taylorreihen, Laurentreihen, Fourierreihen, Fourier-Transformation, Laplace-Transformation, z-Transformation, Differentialgleichungen, Differenzengleichungen informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

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Structural Sensitivity Analysis and Optimization 2

Structural layout sensitivity research matters the connection among layout variables on hand to the layout engineer and structural responses decided through the legislation of mechanics. The dependence of reaction measures similar to displacement, tension, pressure, ordinary frequency, buckling load, acoustic reaction, frequency reaction, noise-vibration-harshness (NVH), thermo-elastic reaction, and fatigue lifestyles at the fabric estate, sizing, part form, and configuration layout variables is outlined throughout the governing equations of structural mechanics.

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N1 ln ( 1  x) = 4 ˜ ( x  1)  n1 n lim 2 2 ˜ ( x  1)  = ln ( 1  x)  ln ( 1  x) Seite 35 5 Taylorreihen § 1  x · reihe  x = 0  grad o 2 ˜ x  2 ˜ x3  2 ˜ x5 3 5 © 1  x¹ p4 ( x)  ln ¨ §1 ©1 ln ¨ f x· = 2˜ x¹ 2˜n  1 x ¦ n Taylorreihe für ln((1-x)/(1-x)) mit der Entwicklungsstelle x0 = 0. 2˜ n  1 0 Diese Reihe konvergiert sicher im Intervall -1 < x <1. 1 x Setzen wir 1 x = z , dann folgt: x= z1 z1 Wir setzen nun x in die vorhergende Reihe ein und ersetzen hinterher z durch x: reihe  x = 0  grad § 1  x· p5 ( x)  ln ¨ © 1  x¹ 3 5 z  1o 2 ˜ x  1  2 ˜ ( x  1)  2 ˜ ( x  1) ersetzen  x = 3 5 x 1 3 5 z1 ( x  1) ( x  1) ersetzen  z = x f ln ( x) = 2 ˜ ¦ n 0 2˜n 1 º ª 1 ( x  1) « » ˜ « ( 2 ˜ n  1) ( 1  x) 2˜n1 » ¬ ¼ Taylorreihe für ln(x).

19 Wir bezeichnen z 0 als eine isolierte Singularität von f(z), wenn f(z) in z = z 0 nicht analytisch ist, aber in der Nachbarschaft von z 0 analytisch ist. Pole treten in der Laurent-Entwicklung auf, wenn f ª a ˜ z  z nº 0 ¼ ¬ n ¦ f ( z) = (2-22) f n und an = 0 für n < a -m< 0 und a-m z 0. Wir bezeichnen dann z 0 als Pol m-ter Ordnung. Ordnung, 2. , sonst unendlicher Ordnung oder wesentliche Singularitäten. Wenn wir in einer Laurent-Entwicklung jeden Term einer Konturintegration unterwerfen, wobei die Kontur den singulären Punkt z 0 umschließt, dann erhalten wir für a -1: ´ a 1 ˜ µ µ ¶ œ 1 2˜ S ˜ j ´ µ 1 dz = a 1 ˜ µ z  z0 µ µ ¶ ˜ ´ µ µ ¶ j ˜ r˜ e r˜ e j˜M j˜M dM = 2 ˜ S ˜ j ˜ a 1 f ( z ) dz = a 1  Seite 52 (2-23) Laurentreihen Den Koeffizienten a-1 der Potenz (z - z 0 )-1 in der Laurent-Entwicklung von f(z) bezeichnet man als Residuum der Funktion f(z) im singulären Punkt z 0 .

Auf Computern werden daher Funktionen meist durch Polynome ersetzt, die eine gleichbleibend gute Näherung über einen bestimmten x-Bereich geben. Hier sind speziell die sogenannten Tschebyscheff-Polynome zu erwähnen, mit denen viele elementare Funktionen auf Computern berechnet werden. 11: a) Wie lautet die Taylorreihe an der Stelle x 0 = 0 der Funktion f(x) = cos(x) ? b) Auf welchem Intervall konvergiert diese Reihe ? c) Wie lautet das Restglied nach Lagrange für diese Reihe ? d) Stellen Sie die Funktion und die Näherungspolynome bis zum 7.

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